Uma base de numeração ou sistema de contagem é o grupo mínimo de símbolos utilizados para representar qualquer número.
Existe uma razão matemática para que o mesmo número possa ser representado de várias maneiras, essa razão se origina do isomorfismo da representação numérica com os vetores de um espaço vetorial n-dimensional, onde n é justamente a dimensão da base de vetores.
Assim como um vetor admite várias representações através de uma base ortogonal diferente, um número admite ser representado em várias bases numéricas. Cada dígito é uma coordenada, numa dimensão vetorial correspondente.
O número 27 em diversas bases:
base 1 - |||||||||||||||||||||||||||
base 2 - 111101
base 3 - 2021
base 9 - 67
base 10 - 27
base 16 - 3D
base 27 - Q
A descoberta do número zero e do sistema posicional
A invenção do número zero ou a sua descoberta pela civilização, remonta a origem dos algarismos indo-arábicos, tendo sido utilizado a primeira vez pelos matemáticos hindus por volta de 600 a.c. O desenvolvimento independente do número zero só ocorreu em três civilizações: Os babilônios, os hindus e os maias. O sistema posicional floresceu com o sistema decimal de origem hindu, possibilitando a representação compacta de todas as quantidades numéricas sem ambiguidades.
Para ilustrar o conceito de base numérica posicional, vou mencionar sucintamente algumas das bases de numeração mais interessantes, com suas respectivas curiosidades.
Base unária
A base unária é a base de numeração menos eficiente. Na base um, a representação numérica lembra as marcações primitivas de traços nas paredes das cavernas:
1 = |2 = ||
3 = |||
4 = ||||
5 = |||||
Etc.
O número 1000 (mil) nesse esquema seria representado por mil tracinhos verticais dispostos lado a lado, sendo que qualquer outro símbolo poderia ser utilizado no lugar do traço vertical para denotar os números na base unária.
Na China, os hexagramas do I-Ching foram umas das primeiras manifestações culturais que evocaram figurativamente a alternância de uma base binária. Claro que essa não foi a intenção principal desses filósofos e eruditos antigos, porém a similaridade do I-Ching com um sistema de notação posicional binário chamou a atenção e intrigou vários estudiosos do mundo inteiro.
Um desses estudiosos foi o polímata Leibniz que se interessou bastante pelo tema e conseguiu formalizar matematicamente o sistema numérico de base binária. Nesta base numérica formalizada por Leibniz, os dígitos válidos são apenas os dois primeiros, 0 e 1.
A operação 2 + 2 = 4 em binário é denotada assim: 10 + 10 = 100.
Essa base é facilmente implementada nas máquinas, onde tradicionalmente o circuito fechado (ligado) vale 1 e o circuito aberto (desligado) vale 0. No século 19, George Boole desenvolveu a lógica matemática, fundamento da era digital moderna, utilizando a base binária como inspiração conceitual para criar a álgebra da lógica no seu livro "As Leis do Pensamento". Atualmente cada dígito binário é denominado bit. O conjunto de 8 bits ou byte ganhou relevância na computação com os primeiros microprocessadores de arquitetura de 8 bits que surgiram na segunda metade do século 20.
A palavra byte é derivada da expressão binary term, cujos valores decimais de 0 a 255 são tabelados em correspondência com os símbolos gráficos no código ASCII. Com essa codificação, os caracteres alfabéticos e numéricos, os sinais de pontuação e os caracteres especiais são representados.
O Código ASCII
Base 3
Um desses estudiosos foi o polímata Leibniz que se interessou bastante pelo tema e conseguiu formalizar matematicamente o sistema numérico de base binária. Nesta base numérica formalizada por Leibniz, os dígitos válidos são apenas os dois primeiros, 0 e 1.
A operação 2 + 2 = 4 em binário é denotada assim: 10 + 10 = 100.
Essa base é facilmente implementada nas máquinas, onde tradicionalmente o circuito fechado (ligado) vale 1 e o circuito aberto (desligado) vale 0. No século 19, George Boole desenvolveu a lógica matemática, fundamento da era digital moderna, utilizando a base binária como inspiração conceitual para criar a álgebra da lógica no seu livro "As Leis do Pensamento". Atualmente cada dígito binário é denominado bit. O conjunto de 8 bits ou byte ganhou relevância na computação com os primeiros microprocessadores de arquitetura de 8 bits que surgiram na segunda metade do século 20.
A palavra byte é derivada da expressão binary term, cujos valores decimais de 0 a 255 são tabelados em correspondência com os símbolos gráficos no código ASCII. Com essa codificação, os caracteres alfabéticos e numéricos, os sinais de pontuação e os caracteres especiais são representados.
O Código ASCII
O
"American Standard Code for Information Interchange" comumente referido
como ASCII, também chamado ASCII completo ou ASCII estendido, é uma
forma especial de código binário. O ASCII é uma extensão de oito bits do
antigo sistema ASCI com sete bits.
O sistema de numeração em base 3 é o mais eficiente, com respeito a capacidade de representar grandes quantidades numéricas com o menor número possível de símbolos.
Uma propriedade notável do sistema ternário
http://www.nilsonjosemachado.net/sema20110318.pdf
Algumas tentativas já foram feitas no sentido de configurar uma arquitetura nativa de base 3 para os computadores digitais, mas a base 2 se tornou a padrão.
Os primeiros nove números inteiros na base 3:
0 = 000, 1 = 001, 2 = 002, 3 = 010, 4 = 011,
5 = 012, 6 = 020, 7 = 021, 8 = 022
Lógica Ternária
Na lógica ternária, existem 3 valores de verdade:
Falso (0)
Verdadeiro (1)
Desconhecido (2)
O valor desconhecido é a soma lógica de dois valores
q = p v ~p
(2) = (1) + (0)
Existem lógicas ternárias paraconsistentes, mas a lógica ternária standard é apenas a lógica binária do falso-verdadeiro com a adição do terceiro valor <<desconhecido>>.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Nesse esquema da base 9, o número 0 pode ser cifrado pelo 9, algo semelhante acontece em todas as aritméticas de relógio com o primeiro símbolo, por isso o ângulo de zero graus em radianos é equivalente ao ângulo de 2π radianos.
Curiosidade: Redução numerológica
A=1 J=1+0=1 S = 1+9=1
B=2 K=1+1=2 T = 2+0=2
C=3 L=1+2=3 U = 2+1=3
D=4 M=1+3=4 V = 2+2=4
E=5 N=1+4=5 W = 2+3=5
F=6 O=1+5=6 X = 2+4=6
G=7 P=1+6=7 Y = 2+5=7
H=8 Q=1+7=8 Z = 2+6 = 8
I= 0 R=1+8=0
NOVE = N + O + V + E = 14 + 15 + 22 + 5 =
56 = 5 + 6 = 11 = 1 + 1 = 2
Por que a palavra NOVE vale 2?
Numa divisão por nove, 56 deixa resto 2.
56\9 = 6x9 + 2
56 (mod 9) = 2
Base 10 (a base de numeração padrão)
Na base dez utilizamos os algarismos indo-arábicos
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Usualmente esses algarismos são utilizados para representar os dez primeiros símbolos de uma base maior do que a base 10.
Base 16 (Hexadecimal)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
A,B,C,D,E,F
A base hexadecimal é formada adicionando as seis primeiras letras do alfabeto A, B, C, D, E, F ao conjunto dos dez algarismos decimais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
A base 16 foi bastante utilizada no final do século vinte em códigos compiladores e assembler (linguagem intermediária entre o código de máquina e a linguagem de alto nível).
Exemplo:
2021 (hex) = 7E5
No sistema de numeração Maia de base 20, os algarismos são baseados em símbolos. Os símbolos utilizados são o ponto e a barra horizontal, e no caso do zero, uma forma oval parecida com uma concha. A soma de cinco pontos constitui uma barra, dessa forma, se usarmos os símbolos maias para escrever o numeral oito, utilizaremos três pontos sobre uma barra horizontal.
Os números 4, 5 e 20 eram importantes para os Maias, pois eles tinham a ideia de que o 5 formava uma unidade (a mão) e o número 4 estava ligado à soma de quatro unidades de 5, formando uma pessoa (20 dedos). De acordo com a história, os cálculos maias foram os primeiros a utilizar a simbologia do zero no intuito de demonstrar um valor nulo. Também é atribuído ao sistema de numeração Maia a organização dos números em casas numéricas.
Os números 4, 5 e 20 eram importantes para os Maias, pois eles tinham a ideia de que o 5 formava uma unidade (a mão) e o número 4 estava ligado à soma de quatro unidades de 5, formando uma pessoa (20 dedos). De acordo com a história, os cálculos maias foram os primeiros a utilizar a simbologia do zero no intuito de demonstrar um valor nulo. Também é atribuído ao sistema de numeração Maia a organização dos números em casas numéricas.
Base 27
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q
Demonstração da base 27
https://www.atractor.pt/mat/fromPI/pib27.html
Como podemos verificar no site atractor, com essa base específica nós podemos codificar todas as letras do alfabeto e o espaço em branco como números. Através desse artifício podemos explorar alguns textos aleatórios que surgem na distribuição dos dígitos de π.
Base 60 (sexagesimal)
A base sexagesimal foi utilizada por alguns povos da antiguidade, como os Babilônios. Alguns estudiosos dizem que a base sexagesimal foi adotada devido a facilidade de lidar com os divisores de 60 nos cálculos.
Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,12, 15, 20, 30 e 60
O sistema sexagesimal utiliza 60 algarismos diferentes de 0 a 59. Para compor esses números eles usavam a base 10, associando símbolos que correspondiam aos 60 algarismos necessários.
Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,12, 15, 20, 30 e 60
O sistema sexagesimal utiliza 60 algarismos diferentes de 0 a 59. Para compor esses números eles usavam a base 10, associando símbolos que correspondiam aos 60 algarismos necessários.
Em tese, podemos utilizar qualquer base de numeração com um número inteiro b de símbolos para cada dígito.
Um número N, escrito na base b, satisfaz a fórmula:
N (base b) = a0 × b^n + a1 × b^n-1 + … + an × b^0
Os a-n são os dígitos do número.
Exemplo:
O número 1125 (base 10)
1 x 10^3 + 1 x 10^2 + 2 x 10^1 + 5 x 10^0 =
1 x 1000 + 1 x 100 + 2 x 10 + 5 x 1 =
1000 + 100 + 20 + 5 = 1125
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