O Espaço Vetorial de Fórmulas

Na análise dimensional, lidamos muitas vezes com sistemas de equações com duas ou mais variáveis e outros problemas típicos da álgebra linear. Encontramos pouco material na literatura científica que vai além da análise tradicional, na maioria dos casos a declarada inovação se reduz a mera execução dos cálculos no computador.

Entretanto, apresento neste ensaio uma ferramenta heurística que aperfeiçoei como um tipo de "canivete Suíço" para lidar com problemas de análise dimensional, chamada de Espaço Vetorial de Fórmulas.

A Análise Dimensional

A análise dimensional é um método muito utilizado na física teórica para garantir a correção algébrica das fórmulas e para estudar a consistência das novas teorias. A noção mais importante da análise dimensional é a da homogeneidade dimensional ou comensurabilidade, pela qual somente dimensões comensuráveis podem ser comparadas, adicionadas ou subtraídas.

Quantidades de dimensões diferentes são ditas incomensuráveis entre si, isto é, da mesma forma que não podemos somar laranjas com maçãs, não podemos somar Volts com Amperes e nem Watts com Newtons. Desse modo, não faz sentido perguntar se 1 litro é mais, igual ou menos de 1 quilograma, pois estes têm dimensões diferentes, nem somar 1 segundo a 1 metro. Porém, faz todo o sentido perguntar se 1 polegada é mais, o mesmo ou menos de 1 centímetro, pois a mesma dimensão de espaço linear pode ser expressa em unidades diferentes.

O conjunto de todas as fórmulas dimensionais válidas forma um grupo abeliano sob a operação de multiplicação, possibilitando construir novas dimensões apenas multiplicando e dividindo as quantidades incomensuráveis entre si. Á área espaço-temporal ρ, por exemplo, é a quantidade metros x segundos, que se refere ao produto do espaço percorrido pelo tempo de percurso.

As Unidades Naturais de Planck

Chamamos de Unidades Naturais de Planck o sistema baseado no sistema de unidades originalmente proposto por Max Planck em 1899 com o objetivo de simplificar as diversas equações da Física. As cinco constantes físicas fundamentais são G (constante de gravitação universal), ħ (constante reduzida de Planck ou quantum de ação), c (velocidade da luz), a constante de Boltzman Kb e a constante de Coulomb Ke. No presente ensaio, focarei nas três primeiras constantes G, ħ e c. No sistema de unidades naturais, as constantes G, ħ e c ganham o valor 1 (um), eliminando convenientemente qualquer antropocentrismo, pois nesse sistema os resultados numéricos das equações não dependem de nenhuma constante de proporcionalidade.

Introdução ao Espaço Vetorial de Fórmulas

Abordarei nos sub-tópicos destacados abaixo, os conceitos mais importantes para apresentar o Espaço Vetorial de Fórmulas.

● Fórmulas Dimensionais [F]

O físico Percy Williams Bridgman elaborou o teorema central da análise dimensional que afirma que as únicas funções que podem ter argumentos dimensionais são produtos de potências das grandezas de base de um determinado sistema de unidades.

[F] = [L]^x.[T]^y.[M]^z    
 F  ↔ V (x, y, z)   

Definimos o espaço vetorial de fórmulas da base [LTM] como o conjunto de todas as suas fórmulas dimensionais válidas [F], cuja representação vetorial forma um espaço Euclidiano em R³.

Nesse formalismo, mapeamos cada expressão algébrica F para seu respectivo vetor V por intermédio de sua fórmula dimensional [F].

● A Base Canônica [LTM]

Indo além, percebemos que [L], [T] e [M] são melhor expressos em unidades naturais de Lp (comprimento de Planck), Tp (tempo de Planck) e Mp (massa de Planck). Isso significa que através da base canônica de Planck podemos traduzir todas as fórmulas da física para quaisquer bases alternativas que desejarmos.

● A Base das Constantes Físicas [Għc]

Como vimos no ensaio anterior, as três constantes fundamentais da Física são importantes porque substituem formalmente os três vetores da base canônica de Planck. Utilizando essas constantes podemos representar quaisquer dimensões, bem como inferir alguns cutoffs dos observáveis físicos.

Representação dos vetores da base [Għc]
Vetor de [G] = (3, -2, -1)
Vetor de  [ħ] = (2, -1, 1)
Vetor de  [c] = (1, -1, 0)

● Equações e operações básicas

Na base canônica [LTM], cada fórmula dimensional é representada por um vetor e a equivalência entre duas representações do mesmo vetor em bases diferentes representa uma equação. Assim, de modo compacto e elegante, a maioria das equações da Física podem ser lidas e interpretadas no âmbito do espaço vetorial de fórmulas através dos seus vetores-fórmulas correspondentes.

Exemplo:
E      = (2, -2, 1)
M.c² = (0, 0, 1) + (2, -2, 0)

|Entidades matemáticas|  |                Equações                  |
|              Vetores             |  |  (2, -2, 1) = (0, 0, 1) + (2, -2, 0) |         
|             Fórmulas           |  |             E = M.c²                        |      

Nessa codificação, a operação de multiplicação de dimensões (x) é representada pela soma vetorial "+" e a operação de divisão de dimensões (:) é representada pela subtração vetorial "-".

● Representação de magnitudes

Magnitudes específicas também podem ser construídas facilmente, bastando incluir um multiplicador de normalização. A Energia é representada pelo vetor V = (2, -2, 1) em [LTM], cujo módulo euclidiano é ||V||=3, assim W = 5\3 (2, -2, 1) tem magnitude 5.

Portanto, o vetor W pode representar 5 Joules na base [metro, segundo, quilograma] ou pode representar 5 unidades de energia de Planck se preferirmos utilizar a base das unidades naturais [Lp, Tp, Mp].

● Análise dimensional em subespaços
Mecânica Quântica no subespaço [LT]

Tratando a massa como uma grandeza adimensional em todas as fórmulas podemos estudar os fenômenos quânticos sem mencionar a massa explicitamente.

Constante de ação em [LT]
[ħ\mₒ] = (2,-1,0)

Que lemos como "constante reduzida de Planck por massa".

● Um upgrade da análise dimensional tradicional

A utilização do espaço [LTM] para representar as equações da Física é uma ferramenta heurística poderosa, possibilitando automatizar procedimentos para classificação de dados e implementar inteligência artificial para estudar a natureza.

Além das ferramentas tradicionais da álgebra linear, a visualização das fórmulas no espaço geométrico permite um ataque mais efetivo aos mais diversos problemas da Física, especialmente no que tange a acomodação de novas teorias dentro do arcabouço científico vigente.