Unidades Naturais Normalizadas

Proponho um sistema de unidades naturais inventado por mim, para harmonizar a quantidade de informação, a entropia e suas divergências, com outras medidas dimensionais ordinárias na Física Digital. Neste ensaio, começo a divulgação da minha Teoria Científica situada no âmbito da Física Digital e da Termodinâmica da Gravidade que tem a finalidade de conciliar a Relatividade Geral com a Mecânica Quântica.

Consistência da entropia holográfica no subespaço [LM]

1) Parametrização da Entropia do Buraco Negro

S = A/4Lp²

S = π.r²
Se o raio mínimo r vale Lp, devemos ter
S = π (em unidades de Planck)

Para normalizar a entropia S = 1, para o raio mínimo rₒ, devemos fazer o raio mínimo de um buraco negro valer rₒ = Lp/√π.

Em geral, fazendo r = n.rₒ, obtemos:
S = π.n²rₒ²/π = n²
S = n²

2) Parametrização do Limite de Bekenstein 

A quantidade máxima S de informação oculta numa região de raio r que contém uma massa m é:

Limite de Bekenstein
S ≤ (2π.c/ħ).r.m. (K.ln2)

Interpretação dos cutoffs de massa e raio
mₒ - massa unitária
rₒ   - raio unitário (raio Schwarzschild mínimo)

Identificamos a célula mínima com significado físico no subespaço de fórmulas dimensionais [LM] como sendo o produto das constantes de massa mₒ e de raio rₒ, Sₒ = mₒ.rₒ = ħ/2πc.

Unidade de entropia em [LM]
Sₒ = ħ/2πc = 1

Primeiro parametrizamos as variáveis de raio e massa, como produtos dos cutoffs rₒ e mₒ na expressão usual do limite de Bekenstein. Após esse primeiro passo, abstraímos o K ln 2 da entropia termodinâmica, para obter a expressão da informação I em bits. 

S ≤ (2π.c/ħ).(m.mₒ).(n.rₒ). (K.ln 2)
S ≤ (m.mₒ).(n.rₒ)/(ħ/2πc). (K.ln 2)
S ≤ (m.mₒ).(n.rₒ)/Sₒ . (K.ln 2)
S ≤ mn. mₒ.rₒ/Sₒ . (K.ln 2)
S ≤ mn. Sₒ/Sₒ . (K.ln 2)
S ≤ mn. K ln 2

Sendo a entropia S = K.I.ln 2, obtemos para a informação I:

I = m.n 

número de massa: m = m/mₒ
número do raio:      n = r/rₒ

Os parâmetros numéricos m e n são os números que podem quantizar uniformemente a massa e o raio, do mesmo modo que a informação é quantizada em bits. Adotando essa notação minimalista, podemos identificar mais facilmente os cutoffs de referência de cada dimensão e os intervalos de variação dos observáveis. O que nos faz levar a sério a sugestão de que a divisibilidade infinita (continuidade) é uma ilusão computacional da informação.

Apresentação da base normalizada [LTM]

A parametrização conjunta da entropia do buraco negro (1) e do limite informativo (2) é consistente com a minha proposta para o seguinte sistema de unidades naturais:

rₒ  = Lp/√π = 1
tₒ  = Tp/√π = 1
mₒ = Mp/2.√π = 1

Essas unidades fazem a entropia mínima de Bekenstein coincidir com a entropia do menor buraco negro possível de raio rₒ, normalizando a uma unidade natural de informação (1 bit). Em especial, num horizonte de eventos com m = n, a entropia máxima correspondente é S = n.n = n², que reproduz a informação obtida a partir do princípio holográfico.

Como curiosidade, podemos notar que a velocidade da luz c = rₒ\tₒ, bem como todas as suas potências retornam os mesmos valores numéricos que são obtidos usando as unidades de Planck.

Sobre a entropia das fronteiras holográficas

Muitas vezes, encontramos artigos em revistas especializadas e publicações científicas sobre a termodinâmica dos buracos negros e a gravidade quântica, comentários que confundem a entropia das telas de Planck, definidas como horizontes de eventos estendidos, com o limite de Bekenstein da matéria.

Limite de Bekenstein
S = m.n

Entropia das fronteiras holográficas
I = n²

Com objetos físicos afastados do horizonte de eventos, vale a expressão n ≥ m, o que leva a aparente violação do limite de Bekenstein n² ≥ mn. Entretanto, uma fronteira holográfica não viola o limite de Bekenstein porque inclui todos os processos virtuais que podem existir no bulk, sendo a saturação de entropia n² o esgotamento da entropia na fronteira quando a densidade do bulk se aproxima da densidade crítica μₒ. 

Para qualquer par de coordenadas (n, m) do subespaço [LM], a entropia de Bekenstein é a média geométrica entre m² e n², a saturação em massa e a saturação em espaço: mn = √m²n².

Saturação da entropia em massa
Aumento da densidade inicial μ sem variar a massa m
lim μ -> μₒ (mn); com m = constante e Δn < 0
Estado final: Buraco negro de raio m
Entropia final: mn --> m²

Saturação da entropia em espaço
Aumento da densidade inicial μ sem variar o raio n
lim μ -> μₒ (mn); com n = constante e Δm > 0
Estado final: Buraco negro de raio n
Entropia final: mn --> n²

Resumo mnemônico: Na saturação em massa m², a coordenada n desce até m, na saturação em espaço n², a coordenada m sobe até n.