O Princípio da Incerteza na Física Digital

Neste ensaio, apresento uma abordagem instigante da Física Digital de minha autoria, compatibilizando o princípio da incerteza de Heisenberg com um espaço- tempo discreto munido de uma distância mínima rₒ e de um intervalo temporal mínimo tₒ.

Obs: No texto a seguir, a variável (n) é reservada para a distância radial e a variável (m) é reservada para a massa, ambas em unidades naturais normalizadas. 

1) Relações de Incerteza
Equação de observáveis que não comutam
[P,X] = iħ
PX - XP = iħ

As relações de incerteza mais mencionadas na literatura científica, apesar de existirem muitas outras, são:
momento-posição
Δp.Δx ≥ ħ\2
energia-tempo
ΔE.Δt ≥ ħ\2
momento angular-ângulo
ΔL.Δθ ≥ ħ\2

2) Inequações normalizadas
Podemos reescrever as relações momento-posição e energia-tempo:
m.Δv.Δx ≥ ħ\2
Δm.c².Δt ≥ ħ\2

Devido aos produtos m.Δx e m.Δt contidos nas expressões, a conversão para unidades normalizadas requer a divisão dos dois lados da inequação por 2π:
m.Δv.Δx\2π ≥ (ħ\2)\2π
Δm.c².Δt\2π ≥ ħ\2\2π

Incerteza momento-posição em unidades normalizadas
 Δp.Δx ≥ 1\2  
Incerteza energia-tempo em unidades normalizadas
ΔE.Δt ≥ 1\2

Incerteza potencial quântico-tempo
ΔE = Δm.mₒc²; onde identificamos a flutuação de energia por massa ΔE\mₒ como sendo a flutuação do potencial quântico Δφ.
ΔE\mₒ = Δmc² = Δφ
Δφ.Δt ≥ ħ\2mₒ

De modo similar ao princípio de incerteza energia-tempo, normalizamos a relação dividindo por 2π :
Δφ.Δt\2π ≥ (ħ\2)\2πmₒ
Δφ.Δt ≥ 1\2

Essa relação de incerteza é a mesma da energia-tempo, só que nesta expressão a massa é adimensional, sendo a energia medida em unidades de c² (a dimensão padrão de potencial).

Para partículas virtuais, devemos ter:
Δφmax = 1\2, quando Δt = tₒ.

momento angular-ângulo
ΔL.Δθ ≥ ħ\2
(m.Δv.r).(Δθ) ≥ ħ\2
mr.(Δv.Δθ)    ≥ ħ\2

Usando a mesma normalização anterior, obtemos:
ΔL.Δθ ≥ 1\2

Nota Importante

Devemos frisar a importância do fator adimensional 1\2 que aparece no lado direito de todas as expressões, apesar de parecer não ter nada a ver com Física, esse fator tem tudo a ver com a matemática da síntese de Fourier e do espaço vetorial de funções ao qual a Física é subordinada. Esse fator se refere a dispersão mínima de qualquer grupo de ondas no espaço de Hilbert associado à partícula e tem o status de uma verdade matemática independente das unidades e das dimensões envolvidas na síntese de Fourier; nesse sentido a constante de Planck age como um câmbio entre as dimensões, definindo as dimensões específicas dos observáveis que não comutam e suas respectivas propriedades complementares nas relações de incerteza.

3) Incerteza na resolução conjunta do espaço-tempo

Como o espaço e o tempo comutam entre si, é possível investigar a incerteza numa coordenada Δρ composta pelo produto das incertezas nas duas coordenadas Δρ = Δr x Δt.

momento-posição
Δp.Δr ≥ ħ\2

Partindo do princípio da incerteza mais conhecido de momento-posição, dividimos e multiplicamos por Δt no lado esquerdo sem alterar a desigualdade:
Δt\Δt (Δp.Δr) ≥ ħ\2
(Δp\Δt).(Δr.Δt) ≥ ħ\2

Reconhecemos imediatamente a primeira expressão entre parênteses Δp\Δt como a variação temporal de momento ou força aplicada na partícula. Como uma força uniforme que realiza trabalho distribui a energia uniformemente no espaço na mesma direção do movimento, temos uma densidade linear de energia da forma Δμc² = ΔE\Δr.

O algebrismo está correto, pois conseguimos deduzir dele o princípio da incerteza de energia-tempo:
(ΔE\Δr).(Δr.Δt) ≥ ħ\2 <--> ΔE.Δt ≥ ħ\2

Substituindo as incertezas acima pelas expressões próprias de Δμ e Δρ, obtemos as expressões:
c². Δμ.Δρ ≥ ħ\2
Δμ.Δρ ≥ ħ\2c²

Aplicando a mesma normalização nas unidades naturais que utilizamos anteriormente, obtemos:

Incerteza resolução-densidade linear de massa
Δμ.Δρ ≥ 1\2

Interpretação:
Quanto mais certa é a localização espaço-temporal Δρ, mais incerta é a densidade linear de massa Δμ.

4) O princípio da incerteza e o princípio holográfico

Leonard Susskind, utilizou uma abordagem heurística para explicar didaticamente a entropia de área do buraco negro, através da seguinte expressão: S = M\ΔM.

A célula de massa ΔM cujo comprimento de onda Compton (λc) iguala o raio de Schwarzschild da matéria colapsada (rs), tem uma unidade de entropia ou 1 bit.

Usando a expressão anterior, obtemos para ΔM:
ΔM = M\S
Sendo a entropia de Bekenstein S = M.n, deduzimos:
ΔM = M\M.n = 1\n

Nesse esquema, o delta de massa ΔM pode ser interpretado como a massa celular distribuída em cada quatro áreas de Planck na superfície do buraco negro. Quanto menor for o raio do buraco negro n mais próxima a massa ΔM estará da massa total do buraco negro. A massa celular ΔM enquanto menor massa possível numa região confinada representa a maior resolução de massa permitida pelas leis da Física. Significa o quanto podemos fracionar a massa total M e ainda assim obter uma teoria consistente com o limite de Bekenstein.

Um fracionamento mais extremo da massa da fonte de gravidade violaria as regras da mecânica quântica, pois energias tão ínfimas não poderiam existir numa região confinada menor que o comprimento Compton λc da célula ΔM. A consistência com o espaço-tempo discreto onde devemos ter n ≥ 1, estabelece que as células de massa holográfica ΔM = 1\n sejam sempre ΔM ≤ 1.

Esse resultado teórico geral é consistente com o meu argumento que as teorias da gravidade no bulk operam na resolução de massa mais grosseira ΔM = mₒ, como explanei no ensaio sobre a fonte de gravidade mínima. Para generalizar para quaisquer telas holográficas que não são horizontes de eventos, aplicamos o mesmo raciocínio para os horizontes estendidos com distâncias n > m.

 

Generalização para partículas virtuais

O cálculo a seguir generaliza para as partículas virtuais o mesmo que já foi estabelecido para as partículas reais com dimensões características da ordem do comprimento de onda Compton λc. A dualidade AdS-CFT, para partículas virtuais, garante a existência de um modelo do vácuo 2-D na tela que descreve o vácuo 3-D do interior.

Considerando a massa da célula holográfica, podemos encontrar uma expressão da flutuação na densidade das partículas virtuais Δμ que depende de ΔM.

Iniciamos com Δρ ≥ Δn², pois Δt ≥ Δn para qualquer partícula com v ≤ c, assim devemos ter Δρ\Δn² ≥ 1.

Dividindo ambos os lados por 1\2, obtemos:
Δρ\Δn² ≥ 1
1\2 Δρ\Δn² ≥ 1\2
1\(2Δn²).Δρ ≥ 1\2

Reconhecemos que a inequação acima tem a forma já deduzida de um princípio de incerteza envolvendo a resolução do espaço-tempo Δρ.

Em seguida, identificamos Δμ = 1\(2Δn²) e 1\Δn² = ΔM², para então reescrever Δμ como 1\2 ΔM²:
1\2 ΔM².Δρ ≥ 1\2
ΔM².Δρ ≥ 1
 Se Δρ ≥ 1, então ΔM ≤ 1

Para as partículas virtuais, as células de massa ΔM das respectivas telas holográficas são sempre inferiores a uma unidade de massa, isto é, também são massas dentro do espectro das partículas quânticas sem gravidade. Logo, num certo sentido, uma partícula elementar isolada é sua própria célula única de massa holográfica ΔM.

Concluindo, as flutuações de energia da espuma quântica na escala de Planck não permitem flutuações da métrica e nem formam buracos negros a partir do vácuo. Colocar as partículas elementares do modelo padrão no regime quântico m < mₒ, onde não existem fontes de gravidade, evita satisfatoriamente a maioria dos paradoxos.

 

5) Informação de uma única partícula

Considerando a informação I = m.n = 1 bit para qualquer partícula elementar e a descontinuidade do espaço n ≥ 1, também obtemos as desigualdades ΔM = 1\n ≤ 1 e m ≤ 1. Isso significa que princípio da incerteza de Heisenberg é consistente com a teoria do espaço-tempo discreto aqui esboçada no limite inferior que a massa tende a mₒ.

Em outras palavras, em tal espaço-tempo discreto, as funções de onda globais Ψ (r,t) não podem transportar mais energia do que a energia Eₒ. A limitação da quantidade máxima de energia que uma onda quântica pode transportar não inutiliza a QM e nem diminui a sua importância; é a construção dos pacotes de onda que são limitados a um intervalo temporal mínimo tₒ, com uma respectiva frequência máxima fₒ, cuja energia do quantum correspondente é Eₒ.

E como fica a interpretação da soma das histórias de Feynman nesse contexto mais restrito? Segundo o que foi exposto, não precisamos nos preocupar com essa interpretação no regime termodinâmico das telas com massas m ≥ mₒ, entretanto a mesma vale para a descrição no regime quântico das telas com m < mₒ, onde as trajetórias prováveis convergem para a trajetória clássica.

 

Por princípio, segundo os argumentos aqui apresentados, não podemos criar uma onda Ψ (r,t) global nem para uma bola de bilhar, nem para o planeta Terra e muito menos para o Universo todo, como alguns teóricos preconizaram com base no multiverso de Hugh Everett.

Se a busca por fenômenos novos de alta energia nos aceleradores "tem um fim" já estabelecido desde o princípio, no caso o extremo gama de energia Eₒ, então os fenômenos quânticos são aqueles que exploram a maior precisão possível das maiores resoluções de espaço, tempo e massa. Nesse regime quântico, a gravidade não existe.